Narodziły się w 1963 roku za sprawą Zbigniewa Ciechana i Jana Rysińskiego. Główny trzon grupy ostatecznie stanowiły: Anna Dębicka, Krystyna Grochowska, Wanda Orlańska, Ewa Dębicka, Sylwia Rajchert, Agata Dowhań. Chociaż okresowo śpiewały inne dziewczyny, m.in. Barbara Trzetrzelewska, Anna Łytko.

Zespół, jak głosi fama, nazwę wziął od zachwytu kogoś z publiczności, kto na widok sześciu ślicznych dziewcząt, krzyknął: Alee babki, ali babki!”.

Ponieważ wywodziły się z harcerskiego chóru. Cykady, początkowo wykonywały piosenki harcerskie. Grupą śpiewającą muzykę popularną stały się w 1967 roku. Wylansowały wtedy jeden z ich największych przebojów – „Kwiat jeden nocy”. Zdobyły dzięki niemu główną nagrodę na festiwalu polskiej piosenki w Opolu. Występowały na nim 15 razy, trzy razy sięgając po główne laury. Inne alibabkowe hity to: „Grajmy sobie w zielone”, „Dom w malwy malowany”, „Kapitańskie tango”, „Tango zalotne – przeleć mnie”.

Alibabki jako żeński chór perfekcyjnie towarzyszyły muzycznie innym polskim wykonawcom, m.in. Niemenowi, Annie Jantar, Maryli Rodowicz, Markowi Grechucie, Czerwonym Gitarom, Skaldom.